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Un petit rappel de mathématiques
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Seb42
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Mer Jan 18, 2006 2:58 am
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MessagePosté le: Mer Jan 18, 2006 2:58 am 
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Je ne savais pas où poster mais je pense que cet endroit est le mieux...

Ce message s'adresse à tous ceux qui croient connaître les nombres premiers et en particulier à ceux qui postent des énigmes membres utilisant ces curiosités mathématiques sources de nombreuses questions fondamentales encore ouvertes...
J'ai remarqué à plusieurs reprises que beaucoup de personnes pensent que le chiffre 1 est premier, ce qui est complétement faux !!
Je sais, vous pensez que je suis en train de faire le matheux rigoureux, puriste et sectaire (et vous avez raison), mais je tiens aussi à combattre une vieille méprise qui persiste dans les esprits des néophytes : 1 n'est absolument pas un nombre premier !!

Deux raisons à cela :

1) la première un peu scolaire : par définition.
Un nombre premier est un entier supérieur à 2 qui n'est divisible que par 1 et par lui-même...

2) la seconde un peu plus savante. Je prends un entier n et je regarde l'ensemble des multiples de n noté <n>. Cet ensemble est ce qu'on appelle un idéal et il est dit premier si pour tout produit d'entier xy dans <n>, on a nécéssairement x ou y dans <n>. Vous remarquerez que les entiers n pour lesquels l'idéal <n> est premier coïncident avec notre idée intuitive des nombres premiers. Ensuite, il existe un théorème classique d'algébre commutative qui affirme que l'idéal <n> est premier si et seulement si l'ensemble Z/nZ est intègre. Je m'explique : Z/nZ est l'ensemble des restes modulo n. Par exemple Z/4Z est l'ensemble des nombres 0,1,2,3 et on a 3+2=1 (car 5=1 modulo 4). Vous remarquerez que pour cet exemple on a 2*2=0 (car 4=0 modulo 4). Ceci traduit le fait que Z/4Z n'est pas intègre et donc que <4> n'est pas premier. De manière générale l'ensemble Z/nZ est intègre si dès que x*y=0 (avec x,y dans Z/nZ) on a nécéssairement x=0 ou y=0.
J'ai fini avec ces considérations techniques un peu longues mais nécéssaires au but que je me suis fixé. Revenons donc à notre chiffre 1 et remarquons que Z/1Z est l'ensemble réduit à l'élément 0. Il n'est donc pas à proprement parlé intègre... Ainsi, la validité de ce théorème et de la théorie des idéaux premiers qu'il engendre, exige que le chiffre 1 ne soit pas premier. D'où la définition...



Désolé de la longueur de ce post, mais j'éspère que certains y auront appris des choses et peut être auront-ils pris goût aux mathématiques et en particulier à l'algèbre commutative....
Cela dit, je me demande si on pourrait pas créer un forum sur les mathématiques (il y en a bien un sur l'informatique alors que d'après ce que j'ai compris beaucoup de gens boycottent le PHP) ???

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zozio
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MessagePosté le: Mer Jan 18, 2006 3:41 am 
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Je n'ai qu'une chose à dire

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CissWit
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MessagePosté le: Mer Jan 18, 2006 3:51 pm 
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le coup des ensembles integre ca va peut etre un peu loin non ???
déjà que moi ca mavait trop fait suer quand javais fait ca en cour .... avec les histoires d'anneaux et corps... alor expliqué a quelqun qui crois que 1 est premier que il ne lest pas en parlant densemble integre cest sans doute trop Wink


Sinon on peut dire que un ensemble est integre si il ne possede pas de diviseur de 0 cest bien ca ? trop drole la theroie des ensemble quand meme !

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Seb42
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MessagePosté le: Mer Jan 18, 2006 4:09 pm 
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Je sais que je vais trop loin mais c'est complétement volontaire. J'insiste en disant que je veux juste faire disparaître cette vieille croyance qui affirme que 1 est premier. Pour ceux qui n'aiment pas l'expression "il faut appeler un chat un chat", je leur ai juste donné l'explication algébrique naturelle (mais difficile) qui fait dire aux matheux que 1 n'a pas les symptômes du nombre premier....

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virginyawoolf
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MessagePosté le: Lun Jan 30, 2006 2:34 am 
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euh si je peux me permettre...

comme je m interrogeais justement sur l inexistance du 1 sur les sites donnant les nombres premiers... j étais justement allée demander à un prof de maths

qui m'a répondu quelquechose s' approchant de ta première partie:
est [premier Wink ] un nombre divisible seulement par lui même et par 1.. (donc 2 nombres).. or 1... ne répond pas à cette définition.


et ben même moi nulle en maths ( comme tu le sais) et ben: j ai compris... alors que modulo 2, 4 ou autre... moi pas comprendre.. Mais bête et diciplinée: j apprends au moins mes définitions!


par contre si tu pouvais m éclairer sur la différence entre base 2 et modulo 2... ou base 6 et modulo 6... de façon simple ( comme ton petit 1 apr exemple) je suis preneuse!


Dernière édition par virginyawoolf le Mer Fév 01, 2006 12:20 am; édité 1 fois
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Balasko
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MessagePosté le: Lun Jan 30, 2006 2:55 am 
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Si j'ai bien compris, (c'est loin d'être mon niveau donc tu peux comprendre car je ne suis qu'en 2nd) un nombre est congru à un nombre modulo un autre nombre, si le reste de la division euclidienne (avec le reste) de ce nombre par cet autre nombre (celui après congru) donne le reste: le nombre après modulo.
exemple:
16 est congru 7 modulo 2 car 16/7=2 reste 2
Mais ce ne sont que les élucubrations de mon cerveau sous-développé...
Balasko

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Seb42
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MessagePosté le: Lun Jan 30, 2006 3:04 am 
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Pour répondre avec un langage scolaire, les bases correspondent à une vision ordinale (donc plus intuitive) des nombres alors que le modulo ou la congruence correspond à une vision cardinale (donc plus abstraite) des nombres.

En pratique, les bases sont une manière d'écrire avec des symboles les nombres vus comme notions abstraites. Il existe plein de sortes d'écritures (maya, égyptienne, indienne, hébreuse, romaine....) et la notre est issue de la civilisation arabe (plus ou moins, on peut discuter longtemps de ce point). Cette méthode utilise des caractères fixés à l'avance (nos chiffres) avec lesquels on peut écrire n'importe quel nombre. Le nombre de caractères fixés à l'avance est ce qu'on appelle la base. Usuellement on travaille en base 10 avec les caractères 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9; mais les ordinateurs et les robots comme moi travaillent en base 2 avec les caractères 0,1.

La congruence (ou modulo) n'est pas un problème de représentation du concept abstrait de nombre, mais un objet mathématiques qui sert à étudier ces nombres. Elle a donc une définition rigoureuse qui est la suivante : a est congru à b modulo n si a-b est un multiple de n. Pour un nombre n fixé, si on réunit ensemble tous les nombres congrus entre eux, on remarque facilement qu'on obtient exactement n collections de nombres. Par exemple pour n=2, on obtient la collection des nombres pairs (ceux congru à 0 modulo 2) et les nombres impairs (ceux congru à 1 modulo 2). Par abus de langage, on appelle ces collections par les chiffres 0,1,2,3,....,(n-1). Par exemple, on note 0 l'ensemble des chiffres pairs et 1 l'ensemble des chiffres impairs.

Il y a donc une ressemblance d'écriture entre ces deux concepts, mais ce ne sont pas les mêmes objets mathématiques. Dans le cas des bases, les caractères sont des chiffres; alors que dans les cas du modulo, ces mêmes caractères reprèsentent des ensembles de nombres.

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virginyawoolf
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MessagePosté le: Mer Fév 01, 2006 12:27 am 
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en fait comme moi je raisonne en terme de petits paquets pour les bases ... mes petits paquets ressemblent trop aux ensembles des modulos... donc l'origine de mon bugue est élucidé ...

à mon époque point de modulo et de congruants en seconde... ni après en filière ES...

je me souviens avoir bien ramé sur une énigme de la première série.

bref, malgré ta définition ,cela reste du chinois pour moi... Embarassed mais au moins j ai compris la différence de ce que chacun représente, à défaut de savoir trouver les modulo cie.... Razz
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Balasko
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MessagePosté le: Mer Fév 01, 2006 3:12 am 
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NON! Je n'ai pas dit que l'on étudiait cela en secodne! J'ai dit que tu pouvais comprendre car un seconde comme moi le peut Wink (bien que l'explication de seb Shocked )

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MessagePosté le: Jeu Fév 09, 2006 7:24 pm 
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Balasko a écrit:
Si j'ai bien compris, (c'est loin d'être mon niveau donc tu peux comprendre car je ne suis qu'en 2nd) un nombre est congru à un nombre modulo un autre nombre, si le reste de la division euclidienne (avec le reste) de ce nombre par cet autre nombre (celui après congru) donne le reste: le nombre après modulo.
exemple:
16 est congru 7 modulo 2 car 16/7=2 reste 2
Mais ce ne sont que les élucubrations de mon cerveau sous-développé...
Balasko


Si je puis me permettre, 16 est congru à 2 modulo 7 (et non l'inverse) : on s'occupe du reste de la division. Modulo 7, on a sept classes :
classe de 0 : 0;7;14;21;28...
classe de 1 : 1;8;15;22;29...
classe de 2 : 2;9;16;23;30...
classe de 3 : 3;10;17;24;31...
classe de 4 : 4;11;18;25;32...
classe de 5 : 5;12;19;26;33...
classe de 6 : 6;13;20;27;34...

Pour faire le lien avec les bases, si on écrit les nombres en base 7, on constatera que tous les nombres congrus à 0 modulo 7 terminent par 0, ceux congrus à 1 se terminent par 1 et ainsi de suite...

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