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Enigme 52 : Les Rebonds
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cyrillel
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Sam Avr 01, 2006 11:33 pm
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MessagePosté le: Sam Avr 01, 2006 11:33 pm 
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Le staff 2e4u a écrit:
Ceci est le topic officiel de l'énigme considérée.
Assurez-vous d'avoir correctement lu les règles concernant l'aide sur le forum avant de poster ici.
Les modérateurs se réservent le droit d'éditer partiellement voire totalement votre message s'il ne s'inscrit pas dans les règles évoquées ci-dessus.
Bonne recherche les 2enigmaticiens!
Le staff 2e4u a écrit:
Ce topic a été nettoyé en juillet 2006, il a été réduit à 1 page
j'ouvre le topic même si je ne pense pas que cette énigme pose beaucoup de problèmes, c'est juste pour le plaisir de le faire.... Very Happy Very Happy Very Happy Very Happy
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Ichi-chan
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MessagePosté le: Dim Avr 02, 2006 12:09 am 
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Mince, moi qui voulais ouvrir le topic d'une énigme que j'ai proposée...
Ce sera pour la prochaine fois...
Si quelqu'un a besoin d'indices je suis là pour ne pas en donner, n'ésitez surtout pas à me supplier Mr. Green
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Kass
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MessagePosté le: Dim Avr 02, 2006 6:14 pm 
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dommage qu'elle soit pas plus compliquée

y a moyen de la transformer?

deja pour la rendre scientifiquement exacte (ce qu'elle n'est pas)
entre les frottements de l'air, le changement d'elasticité du a l'echauffement, la difference (minime) de pression, la nature du gaz a l'interieur et surtout... surtout... la deviation vers l'est due à la force de coriolis qui fait que un objet laché ne retombe jamais a la verticale du point ou il a été laché
sauf si il y a un vent contraire et dans ce cas on peut determiner la force du vent et le poids du ballon
fun non ? Mr. Green

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Kass - Kouy
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Ichi-chan
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MessagePosté le: Lun Avr 03, 2006 4:25 pm 
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...
En fait j'ai fair une erreur quand j'ai réfléchi à la façon de poser l'énigme...
Du coup elle est super facile Sad
Dommage... Normalement elle devrait etre plus dure...
Je réfléchirai pour voir si y a moyen de faire quelque chose Confused
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virginyawoolf
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MessagePosté le: Dim Nov 26, 2006 4:16 pm 
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ben moi je m interroge quand même....

le ballon peut toujours rebondir à l infini sil n y a pas ce système de frottement....? j arrête quand?

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(Bach)
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Seb42
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MessagePosté le: Dim Nov 26, 2006 4:28 pm 
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C'est une remarque très intéressante qui est en fait équivalente au paradoxe de Zénon d'Elée.
Je t'invite à aller lire cet article, tu y trouveras certainement une réponse à ta question. super

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virginyawoolf
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MessagePosté le: Dim Nov 26, 2006 4:31 pm 
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ben c est gentil.... et intéressant masi sincèrement... je ne vois pas en quoi ça me donne une réponse Sad

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Seb42
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MessagePosté le: Dim Nov 26, 2006 4:39 pm 
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Dans le paradoxe d'Achille et de la tortue, le raisonnement de Zénon comporte une infinité d'étapes mais ce n'est pas une raison pour en conclure qu'Achille ne rattrapera jamais la tortue. La distance qui les sépare est finie, et donc, puisqu'Achille a une vitesse plus grande que la tortue, Achille rattrapera la tortue contrairement au raisonnement un peu hâtif de Zénon.

Pour cette énigme, c'est le même phénomène :
le nombre de rebonds est infini arg (en l'absence de frottements) mais la distance parcourue par le ballon est finie. oui



Bien sûr, je n'ai pas dit que ça permettait de résoudre l'énigme. C'est seulement pour répondre à ta question :
virginyawoolf a écrit:
le ballon peut toujours rebondir à l infini sil n y a pas ce système de frottement....? j arrête quand?

Donc, tu ne t'arrêtes pas, il rebondit bien à l'infini. cligne



Cela dit, tu pourras trouver dans l'article suscité une méthode adaptable (avec un peu de travail) à l'énigme. super

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virginyawoolf
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MessagePosté le: Dim Nov 26, 2006 5:00 pm 
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moi être très perplexe..; car autant je vois même pas comment zénon a pu conclure qu achille ne rattrapera pas la torture....

autant j en ecomprends pas comment un ballon ne peut cesser de rebondir sans cesser de créer de la distance à moins de l acceptation tacite d un arrondi (suggéré dans l énigme)

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Seb42
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MessagePosté le: Dim Nov 26, 2006 6:17 pm 
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Ok, je reprends l'exemple d'Achille et sa tortue.



Supposons qu'Achille parcourt pendant une minute 200 mètres alors que la tortue n'en fait que 100, et donnons 500 mètres d'avance à cette dernière.
Il y a deux types d'approches à ce problème : une algébrique et une analytique.




* La première consiste à tout poser en équation, elle est plus "automatique" mais moins intuitive.


Au temps t=0 minute, la tortue possède une avance de T=500 mètres.
Puisqu'elle a une vitesse de 100 mètres par minute, au bout de t minutes elle aura parcouru T=500+100*t mètres.

De même, Achille aura parcouru A=200*t mètres au bout de t minutes.

Il rejoindra la tortue lorsque A=T, ce qui donne l'équation : 200*t=500+100*t
On obtient comme solution : t=500/(200-100)=5 minutes.

En particulier, Achille arrive bien à rejoindre la tortue.




* La seconde est beaucoup plus "naturelle" mais il faut faire très attention de ne pas tomber dans le piège de Zénon.


Achille possède au départ un retard de 500 mètres sur la tortue.
Il arrive à combler ce retard au bout de t=500/200=2,5 minutes (puisqu'il progresse à une vitesse de 200 mètres par minute).
Pendant ce temps, la tortue a avancé de T=2,5*100=250 mètres (puisqu'elle progresse à une vitesse de 100 mètres par minute).
Au bout de cette première étape (c'est à dire au bout de 2,5 minutes), Achille a donc un nouveau retard de 250 mètres.

Achille arrivera alors à combler ce nouveau retard au bout de t=250/200=1,25 minutes, temps pendant lequel la tortue parcourra T=1,25*100=125 mètres.
Ainsi, au bout de cette deuxième étape (c'est à dire au bout de 2,5+1,25=3,75 minutes), Achille aura un nouveau retard de 125 mètres.

Etc...

En fait, en généralisant un peu les calculs, on obtient au bout de la n-ième étape :
distance entre Achille et la tortue : 500*(0,5)^n mètres
temps pris par Achille pour combler cette distance : t=(500*(0,5)^n)/200=2,5*(0,5)^n minutes

Bien que le retard d'Achille diminue à chaque étape, il ne sera jamais nul. Et c'est ici qu'il ne faut pas faire la même erreur que Zénon : cela ne signifie pas qu'Achille ne rattrapera jamais la tortue. Cela veut tout simplement dire que ce raisonnement comporte une infinité d'étapes. Cet état de fait est impossible physiquement, mais il n'y a rien d'anormal mathématiquement parlant (c'est à dire "conceptuellement" parlant, ce qui est le cas ici puisqu'on a formalisé le problème).


Pour conclure, il suffit donc de continuer naturellement le raisonnement, à savoir que le temps au bout duquel Achille rattrapera la tortue est la somme des temps pris par Achille pour combler son retard à chaque étape. C'est à dire :

t=2,5+1,25+0,625+0,3125+... minutes

La chose difficile à admettre est que cette somme possède une infinité de termes (qui deviennent de plus en plus petit) mais son résultat est bien fini.


On peut également écrire cette somme en utilisant notre formule puis en factorisant :

t=2,5*(0,5)^0+2,5*(0,5)^1+2,5*(0,5)^2+2,5*(0,5)^3+2,5*(0,5)^4+2,5*(0,5)^5+...

t=2,5*((0,5)^0+(0,5)^1+(0,5)^2+(0,5)^3+(0,5)^4+(0,5)^5+...)


Maintenant, si on multiplie cette somme par 0,5 , on obtient :

0,5*t=0,5*(2,5*((0,5)^0+(0,5)^1+(0,5)^2+(0,5)^3+(0,5)^4+(0,5)^5+...))

0,5*t=2,5*(0,5*((0,5)^0+(0,5)^1+(0,5)^2+(0,5)^3+(0,5)^4+(0,5)^5+...))

0,5*t=2,5*(0,5*(0,5)^0+0,5*(0,5)^1+0,5*(0,5)^2+0,5*(0,5)^3+0,5*(0,5)^4+0,5*(0,5)^5+...)

0,5*t=2,5*((0,5)^1+(0,5)^2+(0,5)^3+(0,5)^4+(0,5)^5+(0,5)^6+...)


On retrouve presque la même somme que t, mais il manque le premier terme 2,5*(0,5)^0.

On a donc tout simplement l'équation :

0,5*t=t-2,5*(0,5)^0

Et on obtient comme solution : t=2,5*(0,5)^0/(1-0,5)=5 minutes.






Tout le problème de Zénon est donc de croire que si une somme a une infinité de termes alors elle est infinie ce qui n'est pas toujours le cas (par exemple, ici t est bien fini puisqu'il vaut 5 minutes, alors qu'on l'a également écrit comme le résultat d'une somme avec une infinité de termes).

Commence par bien comprendre pourquoi Zénon s'est laissé abuser par son raisonnement. Ensuite tu pourras essayer de détailler un peu plus les calculs de la deuxième méthode pour te convaincre toi même de son erreur.

Rassure-toi, les calculs exigés pour l'énigme sont un peu plus simple mais la méthode est similaire. Si tu as bien compris cette deuxième méthode, l'énigme ne sera qu'une formalité.

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Dernière édition par Seb42 le Dim Nov 26, 2006 6:28 pm; édité 4 fois
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